Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D為AB邊上一點，且AD＝1，點P從點C出發，沿射線CA以每秒1個單位長度的速度運動，以CP、DP為鄰邊作CPDE．設CPDE和△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P的運動時間為t（秒）（t＞0）

（1）連結CD，求CD的長；

（2）當CPDE為菱形時，求t的值；

（3）求S與t之間的函數關系式；

（4）將線段CD沿直線CE翻折得到線段C′D′．當點D′落在△ABC的邊上時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）t＝；（3）S＝；（4）滿足條件的t的值為s或s．

【解析】

（1）過點D作DF⊥AC于點F．如圖1中．求出DF，CF，利用勾股定理即可解決問題．

（2）當為菱形時，如圖2中，連接BP交CD于O．證明△COP∽△BCP，推出=，由此構建方程即可解決問題．

（3）分三種情形：當0<t≤時，如圖3中，重疊部分是四邊形PCED．當<t≤3時，如圖4中，重疊部分是四邊形PCFD．當t>3時，如圖 5中，重疊部分是四邊形ACFD，分別求解即可解決問題．

（4）分兩種情形分別畫出圖形求解即可．

解：（1）過點D作DF⊥AC于點F．如圖1．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB===5，

∵DF∥BC，

∴△AFD∽△ACB．

∴==，

∴==，

∴AF=，DF=，

∴CF=AC﹣AF=3﹣=，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，

∴CD===．

（2）當為菱形時，如圖2中，連接BP交CD于O．

∵四邊形PCED是菱形，

∴PD=PC，

∵BD=BC=1，

∴PB垂直平分線段CD，

∴點E在直線PB上，

∵∠CPO+∠PCO=90°，∠CPB+∠PBC=90°，

∴∠PCO=∠PBC，∵∠POC=∠PCB，

∴△COP∽△BCP，

∴=，

∴=．

∴t=．

（3）當0<t≤時，如圖3中，重疊部分是四邊形PCED．

．

S=t=t．

當<t≤3時，如圖4中，重疊部分是四邊形PCFD．

S=(4×+t)﹣=t+．

當t>3時，如圖 5中，重疊部分是四邊形ACFD，

S=(4×+3)﹣=．

綜上所述，S=．

（4）如圖6中，當點D′落在AB上時，延長CE交AB于O，

易知OC⊥AB，OC=．AO=，

∴OD=OA﹣AD=，

∵DE∥AC，

∴=，

∴=，

∴DE=，

此時t=，

如圖7中，當點D′落在BC上時，延長DE交BC于F，作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N．

∵∠DCO=∠OCB，ON⊥CD，OM⊥CB，

∴ON=OM，

∵S△DCB=S△CDO+S△BCO，

∴×4×=××ON+×4×OM，

∴OM=，

∵OM∥AC，

∴=，

∴BM=，CM=，

∵EF∥OM，

∴=，可得EF=，

∴CP=DE=﹣=，

此時t=，

綜上所述，滿足條件的t的值為s或s．