Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，AB=4，AD=3，動(dòng)點(diǎn)M從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AB，交AC于點(diǎn)P，連接MP．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AD交AD于點(diǎn)Q，且PQ=AN，AQ=PN．已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x（0＜x≤2）秒，且PN的長(zhǎng)為

3x

2

．在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了

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秒時(shí)，MP=MA，則△MPA為等腰三角形．請(qǐng)問(wèn)是否存在其它的x值使△MPA為等腰三角形？如果存在請(qǐng)求出x的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①PM=PA時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得MQ=AQ，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AQ=PN，然后根據(jù)AD的長(zhǎng)列出方程求解即可；②AP=QM時(shí)，在Rt△PAN中，利用勾股定理列式表示出AP，再表示出AM，然后列出方程求解即可；③AM=PM時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AP于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)表示出AH，再表示出AM，然后根據(jù)∠CAD的余弦值列式求解即可．

解答：解：存在其它x值，使△MPA為等腰三角形．
由題意知：DM=x，AN=2x，
①如圖1，若PM=PA，
∵PQ⊥AD，
∴MQ=AQ，
∵AQ=PN，
∴MQ=AQ=PN=

3

2

x，
又∵DM+MQ+QA=AD，
∴x+

3

2

x+

3

2

x=3，
即x=

3

4

；
②如圖2，若AP=AM，
在Rt△PAN中，由勾股定理得：AP=

AN2+PN2

=

(2x)2+( 3 2 x)2

=

5

2

x，
∵AM=3-x．
∴

5

2

x=3-x，
解得x=

6

7

；
③如圖3，若AM=PM時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AP于H，
則AN=PH=

1

2

AP=

1

2

×

5

2

x=

5

4

x，
在Rt△ACD中，AC=

32+42

=5，
cos∠CAD=

AH

AM

=

AD

AC

，
即

5 4 x

3-x

=

3

5

，
解得x=

36

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．
綜上所述，存在其它的x值，x=

3

4

或x=

6

7

，使△MPA為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題型，主要考查了等腰三角形兩腰相等，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．