Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經過點C（0，2），交x軸于點A、B（A點在B點左側），頂點為D．

（1）求拋物線的解析式及點A、B的坐標；

（2）將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A′，試求A′的坐標；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0）．（2）A'（1，4）；（3）P的坐標為（，-）或（，2+）．

【解析】試題分析：（1）將（0，2）代入拋物線解析式求得a的值，從而得出拋物線的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得點A、B的坐標；

（2）如圖2，作A'H⊥x軸于H，可證明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A'H∥OC，即可得出A′H的長，即可求得A′的坐標；

（3）分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得出點P坐標；②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A'，以A'B為直徑作⊙M'，⊙M'交拋物線的對稱軸于P'（BC的上方），作M'E⊥A'H于E，交對稱軸于F，求得M'F，在Rt△M'P'F中，由勾股定理得出P'F得的長，從而得出點P的坐標即可．

解：（1）把C（0，2）代入y=ax2﹣3ax﹣4a得﹣4a=2，

解得．

所以拋物線的解析式為．

令，可得：x1=﹣1，x2=4．

所以A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）如圖2，作A'H⊥x軸于H，

因為，且∠AOC=∠COB=90°，

所以△AOC∽△COB，

所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，

由A'H∥OC，AC=A'C得OH=OA=1，A'H=2OC=4；

所以A'（1，4）；

（3）分兩種情況：

①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），

由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，

易得：MP=AB．所以P（，）．

②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，

點A的對稱點為A'，以A'B為直徑作⊙M'，⊙M'交拋物線的對稱軸于P'（BC的上方），

則∠CP2B=∠CA'B=∠CAB．

作M'E⊥A'H于E，交對稱軸于F．

則M'E=BH=，EF==．

所以M'F==1．

在Rt△M'P'F中，P'F=，

所以P'M=2+．

所以P'（，2+）．

綜上所述，P的坐標為（，）或（，2+）．