Question

在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數的關系解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+2過點A（-3，0），B（1，0），
∴

0=9a-3b+2 0=a+b+2

解得

a=- 2 3 b=- 4 3

，
∴二次函數的關系解析式為y=-

2

3

x²-

4

3

x+2；

（2）存在．
∵如圖1所示，設點P坐標為（m，n），則n=-

2

3

m²-

4

3

m+2．
連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．
則PM=-

2

3

m²-

4

3

m+2，PN=-m，AO=3．
∵當x=0時，y=-

2

3

×0-

4

3

×0+2=2，
∴OC=2，
∴S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△ACO
=

1

2

AO•PM+

1

2

CO•PN-

1

2

AO•CO
=

1

2

×3×（-

2

3

m²-

4

3

m+2）+

1

2

×2×（-m）-

1

2

×3×2
=-m²-3m
∵a=-1＜0
∴函數S_△PAC=-m²-3m有最大值
∴當m=-

b

2a

=-

3

2

時，S_△PAC有最大值．
∴n=-

2

3

m²-

4

3

m+2=-

2

3

×（-

3

2

）²-

4

3

×（-

3

2

）+2=

5

2

，
∴存在點P（-

3

2

，

5

2

），使△PAC的面積最大．


（3）如圖2所示，以BC為邊在兩側作正方形BCQ₁Q₂、正方形BCQ₄Q₃，則點Q₁，Q₂，Q₃，Q₄為符合題意要求的點．過Q₁點作Q₁D⊥y軸于點D，過點Q₂作Q₂E⊥x軸于點E，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
在△Q₁CD與△CBO中，
∵

∠1=∠3 Q1C=BC ∠2=∠4

，
∴△Q₁CD≌△CBO，
∴Q₁D=OC=2，CD=OB=1，
∴OD=OC+CD=3，
∴Q₁（2，3）；
同理可得Q₄（-2，1）；
同理可證△CBO≌△BQ₂E，
∴BE=OC=2，Q₂E=OB=1，
∴OE=OB+BE=1+2=3，
∴Q₂（3，1），
同理，Q₃（-1，-1），
∴存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形．Q點坐標為：Q₁（2，3），Q₂（3，1），Q₃（-1，-1），Q₄（-2，1）．