Question

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE．
（1）求證：AF=BE；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）MP與NQ相等，理由見解析.

試題分析：（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△DAF全等，再根據全等三角形的證明即可；
（2）過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，然后與（1）相同．
試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；
（2）解：MP與NQ相等．
理由如下：如圖，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，

∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AMPF與四邊形BNQE是平行四邊形，
∴AF=PM，BE=NQ，
∴在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；
∴MP=NQ．