Question

有一個長方形OBCD放在一個數軸上（長方形一個頂點和遠點重合），如圖示．如果長方形的長OB=4，寬BC=3
（1）求長方形對角線BD的長度．
（2）若點M、N在數軸上分別代表實數-3與9，如圖示．有一個動點Q從M出發，速度為每秒運動1個單位，沿數軸正方向運動到N點為止．問：何時點Q、B、D構成等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵長方形的長OB=4，寬BC=3，
∴OD=BC=3，
由勾股定理得，BD===5；

（2）如圖，∵M表示出-3，D表示3，
∴MD=3-（-3）=3+3=6，
①BD是腰，點B是頂角頂點時，∵BO⊥DQ，
∴OQ=OD=3，
∴點Q與M重合，
∴MQ=0，
此時，t=0，
BD是腰，點B是底角頂點時，DQ=BD=5，
MQ=6-5=1，
此時，t=1÷1=1，
②BD是底邊時，過點Q作QE⊥BD于E，
則DE=BD=×5=2.5，
cos∠BDO==，
即=，
解得DQ=，
MQ=6-=，
此時，t=÷1=，
③BD是腰，點D是頂角頂點時，DQ=BD=5，
∴MQ=6+5=11，
此時，t=11÷1=11，
綜上所述，當運動時間為0秒、1秒、秒、11秒時，點Q、B、D構成等腰三角形．
分析：（1）根據矩形的對邊相等可得OD=BC，然后利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）分BD是腰，點B是頂角頂點和底角頂點，BD是底邊，BD是腰，點D是頂角頂點三種情況分別求出QD的長度，再求出MQ，然后根據時間=路程÷速度計算即可得解．
點評：本題考查了勾股定理，長方形的性質，等腰三角形的判定，難點在于（2）要根據腰長的不同和點Q的位置的不同分情況討論．