Question

【題目】定義：圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經過三角形一個頂點（非切點）的圓，稱為這個三角形圓心所在邊上的“伴隨圓”．

（1）如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則AC邊上的伴隨圓的半徑為 ．
（2）如圖2，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，畫草圖并直接寫出它的所有伴隨圓的半徑．
（3）如圖3，△ABC中，∠ACB=90°，點P在邊AB上，AP=2BP，D為AC中點，且∠CPD=90°．
①求證：△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓；
②求cos∠PDC的值．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：當O在BC上時，如圖（1）所示：連接OD，過點A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴BE=EC=3．

在△AEB中，由勾股定理可知AE= =4．

∵AB與⊙O相切，

∴OD⊥AB．

∴∠BDO=∠BEA=90°．

又∵∠OBD=∠EBA，

∴△ODB∽△AEB．

∴ ．

設⊙O的半徑為r．在OB=6﹣r．

∴ ．

∴r= ．

∴△ABC的BC邊上的伴隨圓的半徑為 ．

當O在AB上時，如圖（2），連接OD、過點A作AE⊥BC，垂足為E．

∵BC與⊙O相切，∴OD⊥BC．又∵AE⊥BC，

∴OD∥AE．∴△BOD∽△BAE．

∴ ．

設⊙O的半徑為r，則OB=5﹣r．∴ ．∴r= ．

如圖（3）所示：連接OD、過點B作BF⊥AC，過點A作AE⊥BC，垂足為E．

∵S△ABC= BCAE= ACBF，∴ ×6×4= ×5×BF．∴BF=4.8．

∵AC與⊙O相切，∴DO⊥AC．∴DO∥BF．

∴△AOD∽△ABF．∴ 即 ．∴r= ．

綜上所述，△ABC的伴隨圓的半徑分為 或 或

（3）解：①證明：如圖（4）連接OP、OB．

∵△CPD為直角三角形，

∴△CPD的外接圓圓心O在CD中點．

設⊙O的半徑為r，則DC=2r，OA=3r．∴ ．∵PA=2BP，

∴ ．∴ ．∴PD∥OB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．

又∵∠3=∠2，∴∠1=∠4．在△BCO和△BPO中 ，∴△BCO≌△BPO．

∴∠BPO=∠BCO=90°．∴AB是圓O的切線．

∴△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓．

②如圖（4）設圓O的半徑為r．

∵在Rt△OAP中，OA=3r，OP=r，

∴PA= =2 r．

∴AB=3 r．

∵在Rt△ABC中，AC=4r，AB=3 r，

∴BC= = a．

∵在Rt△OBC中，OC=r，BC= r，

∴OB= = r．

∴cos∠1= = = ．

∵∠PDC=∠1，

∴cos∠PDC=

【解析】（1）∵∠C=90°，AB=5，BC=3，

∴AC= =4．

∵BC是圓的切線，∠BCA=90°，

∴AC為圓的直徑．

∴AC邊上的半隨圓的半徑為2．

所以答案是：2．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．