Question

如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，動點E以2cm/秒的速度從點A向點C運動（與點A，C不重合），過點E作EF∥AB交BC于F點．
（1）求AB的長；
（2）設點E出發x秒后，線段EF的長為ycm．
①求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍； 
②試問在AB上是否存在P，使得△EFP為等腰直角三角形？若存在，請說出共有幾個，并求出相應的x的值；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，根據勾股定理即可求得AB的長；
（2）①由EF∥AB，可得△CEF∽△CAB，又由點E出發x秒后，線段EF的長為ycm，求得AE與EC的長，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得y與x的函數關系式；
②分別從當∠PEF=90°，∠PFE=90°與∠EPF=90°去分析求解，利用三角函數的知識即可求得相應的x的值．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10（cm）；
∴AB的長為10cm；

（2）①∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴

EF

AB

=

CE

CA

，
∵點E出發x秒后，AE=2xcm，CE=8-2x（cm），
又∵線段EF的長為ycm，
∴

y

10

=

8-2x

8

，
∴y=-

5

2

x+10；
∴y與x的函數關系式為y=-

5

2

x+10（0＜x＜4）；

②存在．
過點E作EP⊥AB于P，當EP=EF時，
△PEF是等腰直角三角形，
∵sin∠A=

EP

AE

=

BC

AB

，
即：

EP

2x

=

6

10

，
∴EP=

6

5

x，
∴

6

5

x=-

5

2

x+10，
解得：x=

100

37

；
同理：當FP⊥AB于P，FP=EF時，△PEF是等腰直角三角形，此時，x=

100

37

；
當EF的中垂線PK交AB于P，交EF于K，且EF=2PK時，△PEF是等腰直角三角形，
同理可求得：KP=

6

5

x，
∴2×

6

5

x=-

5

2

x+10，
解得：x=

100

49

．
∴存在這樣的點共三個．

點評：此題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用．