Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm. 射線AG//BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t(s) ；

（1）連接EF，當EF經過AC邊的中點D時，求證：△ADE≌△CDF；

(2)求當t為何值時，四邊形ACFE是菱形；

（3）是否存在某一時刻t，使以A、F、C、E為頂點的四邊形內角出現直角？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； (2)t=6； （3）存在，理由見解析．

【解析】分析：（1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，利用AAS即可得證；（2）若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運動的時間即可；（3）分兩種情況考慮：若CE⊥AG，此時四點構成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的長度及時間t的值．

本題解析：（1） 證明：∵AG∥BC ,∴ ,∵是AC邊的,∴AD=CD

又∵ , ∴△ADE≌△CDF

（2）∵當四邊形ACFE是菱形時，∴AE=AC=CF=EF,

由題意可知：AE=t,CF=2T-6，∴t=6,

（3）當四邊形內角有直角時，分兩種情況：若四邊形ACFE是直角梯形，此時EF⊥AG， 過作CM⊥AG于M，AM=3可以得到AE-CF=AM，

即t-(2t-6)=3,∴t=3，

此時，C與F重合，不符合題意，舍去。

若四邊形是直角梯形，此時AF⊥BC，

∵△ABC是等邊三角形，F是BC中點，

∴2t=3，經檢驗，符合題意，∴t=.