Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得

∴ （3分）

∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：存在

理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸x=﹣1對稱

∴直線BC與x=﹣1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時△AQC周長最小

∵y=﹣x2﹣2x+3

∴C的坐標(biāo)為：（0，3）

直線BC解析式為：y=x+3

Q點(diǎn)坐標(biāo)即為

解得

∴Q（﹣1，2）

（3）

解：存在．

理由如下：設(shè)P點(diǎn)（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）

∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC

= BEPE+ OE（PE+OC）

= （x+3）（﹣x2﹣2x+3）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

=

當(dāng)x=﹣ 時，S四邊形BPCO最大值=

∴S△BPC最大=

當(dāng)x=﹣ 時，﹣x2﹣2x+3=

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣ ， ）

【解析】（1）根據(jù)題意可知，將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置，找到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)B，求得直線BC的解析式，求得與對稱軸的交點(diǎn)即是所求；（3）存在，設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△BCP的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．