Question

【題目】已知在中，，直線經過點（不經過點或點），點關于直線的對稱點為，連接．

（1）如圖1，根據已知可以判斷點在以點為圓心，為半徑的圓上.請你直接寫出的度數（用含的式子表示）.

（2）如圖2，當時，過點作的垂線與直線交于點，求證：；

（3）如圖3，當時，記直線與的交點為，連接.將直線繞點旋轉，當線段的長取得最大值時，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）由線段垂直平分線的性質可得AD=AC=AB，即可證點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上；由圓周角定理，可求∠BDC的度數；

（2）連接CE，由題意可證△ABC，△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根據“SAS”可證△BCD≌△ACE，可得AE=BD；

（3）取AC的中點O，連接OB，OF，BF，由三角形的三邊關系可得，當點O，點B，點F三點共線時，BF最長，根據等腰三角形的性質和勾股定理可求，OH=HC，BH=3HC，即可求tan∠FBC的值．

證明：（1）如圖1，連接DA，并延長DA交BC于點M，

∵點C關于直線l的對稱點為點D，

∴AD=AC，且AB=AC，

∴AD=AB=AC，

∴點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上

∴

故答案為： ．

（2）如圖2，連接，

圖2

是等邊三角形

點關于直線的對稱點為點，

，且

是等邊三角形，

，且

（3）如圖3，取的中點，連接，

圖3

在中，

當點，點，點三點共線時，最長，

如圖4，過點作，

圖4

，且,

點是中點，

．