Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，BC＝2，連接BD，把△ABD繞點B順時針旋轉后得到△FBE，旋轉角度小于360°．

（1）如圖1，當點E在BC的延長線上，且直線EF過點D，求AB的長．

（2）若AB＝4，如圖2，取AB邊的中點P，過點P作直線EF的垂線PH，垂足為H．

① 若PH交線段BD于點G，當△BPG為等腰三角形時，求BG的長；

② 直接寫出PH長的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）根據旋轉得到∠ABD=∠FBE,再用三線合一性質得∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°即可解題.（2）第一問過點P作PM⊥BD,證明△ABD∽△MBP,根據相似比,證明△BPG是等腰三角形,即可求出BG的長,第二問旋轉△BAD即可.

（1）由旋轉可知∠ABD=∠FBE,BD=BE,

∵四邊形ABCD為矩形,

∴∠DAB=∠EFB=∠ABE=90°,

∴BF垂直平分線段DE,

∴∠DBF=∠FBE,

∴∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°

在直角三角形DAB中,AD=BC=2,

∴BD=4,AD=2

（2）①如圖所示,過點P作PM⊥BD于點M,

∵BC=AD=2,AB=4,P是AB邊的中點,

∴BD=2（勾股定理）,BP=2,

又∵∠ABD=∠MBP

∴△ABD∽△MBP

∴=,即=

∴MB=

∵△BPG是等腰三角形,PM⊥BD

∴BG=2BM=

②2,以點B為旋轉中心旋轉△BAD,當BF在AB的右側延長線時,PH最長=BF+BP=6

當BF與AB重合時,PH最短=AB-BP=2