Question

如圖，已知一次函數y=kx+3（k＜0）的圖象分別交x軸、y軸于點A，B，且與反比例函數y=-

24

x

的圖象在第二象限交于點C（m，6），CD⊥x軸于點D．
（1）m=

 

，一次函數的表達式為

 

；
（2）試證明線段OB是△ADC的中位線；
（3）若點P從點A沿線段AD向D運動，同時點Q從點C沿線段CA向點A運動，運動速度均為1個單位/秒．設運動時間為t秒，是否存在t值，使得A，P，Q為頂點的三角形與△ADC相似？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點C代入到y=-

24

x

，求得m值，從而解得．
（2）O是AD的中點，又因為OB⊥x軸，CD⊥x軸，由△BAO∽△CAD證得點B是AC的中點，而證得．
（3）由CD=6，AD=8求得AC=10，由AQ=10-t，AP=t，通過兩種情況而解得t的值．

解答：（1）解：把點C代入到y=-

24

x

，
解得m=-4，
所以函數式為：y=-

3

4

x+3．

（2）證明：∵直線y=-

3

4

x+3與x軸的交點為A（4，0）
又C（-4，0）
∴OD=OA=4
∴O是AD的中點
∵OB⊥x軸，CD⊥x軸
∴∠CDA=∠BOA=90°
又∠BAO=∠CAD
∴△BAO∽△CAD
∴

AB

AC

=

AO

AD

=

4

8

=

1

2

∴AB=

1

2

AC
∴點B是AC的中點
∴OB是△ADC的中位線．

（3）解：∵CD=6，AD=8
∴AC=10，
∴AQ=10-t，AP=t
①當

AQ

AC

=

AP

AD

時，△AQP∽△ACD，得

10-t

10

=

t

8

∴t=

40

9

②當

AQ

AD

=

AP

AC

時，△AQP∽△ADC，得

10-t

8

=

t

10

∴t=

50

9

．

點評：本題考查了一次函數的應用，考查了函數上的點，而求點中的坐標未知數，考查了一次函數與直角坐標系構成三角形的中位線，以及考查了一次函數上動點中未知數的求解．