Question

（2013•澄海區(qū)模擬）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10 …，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．
（1）第5個(gè)三角形數(shù)是

15

，第n個(gè)“三角形數(shù)”是

n(n+1)

2

，第5個(gè)“正方形數(shù)”是

25

，第n個(gè)正方形數(shù)是

n²

；
（2）經(jīng)探究我們發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④

25=10+15

，⑤

36=15+21

，…．
請(qǐng)寫出上面第4個(gè)和第5個(gè)等式；
（3）在（2）中，請(qǐng)?zhí)骄康趎個(gè)等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)三角形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上5，即為15，第n個(gè)“三角形數(shù)”等于第（n-1）個(gè)“三角形數(shù)”加上n，即為1+2+3+…+n，計(jì)算即可；第5個(gè)“正方形數(shù)”是5²，第n個(gè)正方形數(shù)是n²；
（2）根據(jù)①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4個(gè)等式為第5個(gè)三角形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上第5個(gè)三角形數(shù)，第5個(gè)等式為第6個(gè)三角形數(shù)等于第5個(gè)三角形數(shù)加上第6個(gè)三角形數(shù)；
（3）第n個(gè)等式為第（n+1）個(gè)“三角形數(shù)”等于第n個(gè)“三角形數(shù)”加上第（n+1）個(gè)“三角形數(shù)”．

解答：解：（1）15，

n(n+1)

2

，25，n²；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）(n+1)2=

n(n+1)

2

+

(n+1)(n+2)

2

，
∵右邊=

n2+n

2

+

n2+3n+2

2

=

2n2+4n+2

2

=n²+2n+1=（n+1）²=左邊，
∴原等式成立．
故答案為15，

n(n+1)

2

，25，n²；25=10+15，36=15+21．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整式的混合運(yùn)算及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，首先要觀察出“三角形數(shù)”和“正方形數(shù)”的變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．