Question

已知△ABC為邊長為10的等邊三角形，D是BC邊上一動點：

①如圖1，點E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，當D點滑動時，∠AFE的大小是否變化？若不變，請求出其度數。
②如圖2，過點D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G，當點D在BC上滑動時，有下列兩個結論：①DC+CG的值為定值；②DG-CD的值為定值．其中有且只有一個是正確的，請你選擇正確的結論加以證明并求出其值。

Answer 1

解：①∠AFE的大小不變，其度數為60°，理由為：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
又∵∠BAD+∠ADB=120°，
∴∠CBE+∠ADB=120°，
∴∠BFD=60°，
則∠AFE=∠BFD=60°；
②正確的結論為：DC+CG的值為定值，理由如下：
連接AG，如圖2所示：

∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°，
又CG為∠ACB的外角平分線，
∴∠ACG=60°，
又∵∠ADG=60°，
∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四點共圓，
∴∠DAG+∠DCG=180°，
又∵∠DCG=120°，
∴∠DAG=60°，
即∠DAC+∠CAG=60°，
又∵∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠GAC，
在△ABD和△ACG中，
∵，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴DB=GC，又BC=10，
則BC=BD+DC=DC+CG=10，
即DC+CG的值為定值。