Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：①CE=CF；②∠AEB=75°③BE+DF=EF；④CE= ，其中正確的結論的個數為（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，故①正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，故②正確；
如圖，連接AC，交EF于G點，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠FAD≠∠CAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，故③錯誤；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，故④錯誤．
∴正確的有①②．
故選B．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等邊三角形的性質和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．