Question

已知：如圖，直線與x軸相交于點A，與直線相交于點P．

（1）求點P的坐標．

（2）請判斷的形狀并說明理由．

（3）動點E從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動（E不與點O、A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．

求：① S與t之間的函數關系式．

② 當t為何值時，S最大，并求S的最大值．

Answer 1

解：（1） 

解得：  

∴點P的坐標為（2，） 

（2）將代入

∴ ，即OA=4

做PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2

∵ tan∠POA=

∴ ∠POA=60°  

∵ OP=

∴△POA是等邊三角形． 

（3）① 當0<t≤4時，如圖

在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t

∴EF=t，OF=t

∴S=?OF?EF=

當4<t<8時，如圖

設EB與OP相交于點C

易知：CE=PE=t－4，AE=8－t

∴AF=4－，EF=（8－t）  

∴OF=OA－AF=4－（4－t）=t

∴S=（CE+OF）?EF

=（t－4+t）×（8－t）

=－+4t－8

② 當0<t≤4時，S=， t=4時，S_最大=2

當4<t<8時，S=－+4t－8=－（t－）+ 

t=時，S_最大=

∵>2，∴當t=時，S_最大=