Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中， 點D是斜邊BC的中點，點E、F分別為AB、AC邊上的點，且.

（1）判斷與的大小關系，并說明理由；

（2）若BE=12，CF=5，求△的面積．

Answer 1

【答案】（1）DF=DE；（2）△DEF的面積是

【解析】試題分析：（1）連接AD，首先利用等腰三角形的性質得到AD⊥BC，AD=CD=BD，從而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA證得DCF≌△ADE后即可證得DF=DE；

（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，運用勾股定理可將EF的值求出，進而可求出DE、DF的值，代入S△EDF=DE2進行求解．

試題解析：（1）DF=DE，理由如下：

如圖，連接AD，

∵AB=AC，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，AD=CD=BD，

∵DE⊥DF，

∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，

即∠CDF=∠ADE，

在△DCF和△DAE中，

，

∴△DCF≌△DAE(ASA)，

∴DF=DE；

（2）由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12.

∵∠EAF=90°，

∴EF2=AE2+AF2=52+122=169.

∴EF=13，

又∵由(1)知：△AED≌△CFD，

∴DE=DF，

∴△DEF為等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2=169，

∴DE=DF=，

∴S△DEF=×()2=.