Question

如圖，在正方形ABCD，F為DC的中點，E為BC上一點，且EC=

1

4

BC．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）若△AEF的面積為5，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析：（1）可利用勾股定理求解，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
（2）邊長的計算，有△AEF的面積，以及三角形的邊與正方形的關系，運用勾股定理可求出邊長．

解答：證明：（1）：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=∠D=90°，
∵F是CD中點，
∴DF=CF=

1

2

CD=

1

2

AD，
∵CE=

1

4

BC=

1

4

CD，
∴CE：DF=CF：AD=1：2，
∴Rt△CEF∽Rt△DFA，
∴∠FAD=∠EFC，
∵∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠EFC+∠DFA=90°，
∴∠EFA=180°-90°=90°．
∴AF⊥EF；

（2）設CE=x，則DF=CF=2x，AD=4x，
S_△AEF=

1

2

 ×2 

5

x× 

5

x=5，
解之得，x=1
所以正方形的邊長為4x=4．

點評：熟練掌握正方形的性質，能夠運用性質解決一些簡單的計算問題．