Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：y＝t(t＜)上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象．

(1)點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為　 　，　 　，　 　；

(2)如圖①，拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處．當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)(含邊界)時(shí)，求t的取值范圍；

(3)如圖②，當(dāng)t＝0時(shí)，若Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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Answer 1

【答案】（1）A（，0）；B（3，0）；D（，）；（2）≤t≤；（3）存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．

【解析】

（1）利用二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用配方法即可找到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由點(diǎn)D的坐標(biāo)結(jié)合對(duì)稱找到點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定直線BC函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)圖像上的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于t的一元一次不等式組，解之即可得出t的取值范圍；

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，分或及三種情況，利用勾股定理找出關(guān)于m的一元二次方程，解出即可得出m的值，進(jìn)而可找出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x﹣1=0，

解得x1=,x2=3,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），

∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x-）2+,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；

（2）∵點(diǎn)E、點(diǎn)D關(guān)于直線y=t對(duì)稱，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2t﹣）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

設(shè)線段BC所在直線的解析式為y=kx+b，

將B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

，解得：，

∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1．

∵點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界），

∴，

解得：≤t≤．

（3）當(dāng)x＜或x＞3時(shí)，y=﹣x2+x﹣1；

當(dāng)≤x≤3時(shí)，y=﹣x2+x﹣1．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．

①當(dāng)m＜或m＞3時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣x2+x﹣1）（如圖1），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，

即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，

整理，得：m1=，m2=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

②當(dāng)≤m≤3時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m,x2-x +1）（如圖2），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，

整理，得：11m2﹣28m+12=0，

解得：m3=，m4=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）．

綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．