Question

【題目】如圖，已知拋物線經過，及原點，頂點為．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）設點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，且以、、，為頂點，為邊的四邊形是平行四邊形，求點的坐標；

（3）是拋物線上第一象限內的動點，過點作軸，垂足為．是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為：（1，3）；（3）存在．符合條件的點有兩個，分別是或（3，15）．

【解析】

（1）由于拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，可以求出點D的坐標；
（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標．

解：（1）設拋物線的解析式為，將點，，代入，可得：

，

解得：．

故函數解析式為：；

（2）當AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE=AO，

由A（-2，0）知：DE=AO=2，
由四邊形AODE可知D在對稱軸直線x=-1右側，
則D橫坐標為1，代入拋物線解析式得D（1，3）．
綜上可得點D的坐標為：（1，3）；

（3）存在．理由如下：

如圖：，，

根據勾股定理得：，

，

，

，

是直角三角形，，

假設存在點，使以，，為頂點的三角形與相似，

設，由題意知，，且，

①若，則，即，

得：，（舍去）．

當時，，即,

②若，則，

即：，

得：，（舍去），

當時，，即．

故符合條件的點有兩個，分別是或（3，15）．