Question

某種規格小紙杯的側面是由一半徑為18cm、圓心角是60°的扇形OAB剪去一半徑12cm的同心圓扇形OCD所圍成的（不計接縫）（如圖1）.

（1）求紙杯的底面半徑和側面積（結果保留π）
（2）要制作這樣的紙杯側面，如果按照圖2所示的方式剪裁（不允許有拼接），至少要用多大的矩形紙片
（3）如圖3，若在一張半徑為18cm的圓形紙片上剪裁這樣的紙杯側面，最多能裁出多少個？

Answer 1

⑴2cm，30πcm^2，，⑵18cm和18-6cm，（3）9

(1)設紙杯底面半徑為r，
依題意，2πr=，r=2cm，----------2分
S_側==π（18²-12²）=30πcm².------- ------4分
（2）連接AB，過O作OE⊥CD，交弧于F，
OA=OB，∠AOB=60度，
∴△ABO是等邊三角形，∴AB=OA=18--------------5分
又∵△CDO也是等邊三角形，
∴∠DCO=∠BAO，
∴AB∥CD，∴AB即為長方形的長.----- --------6分
OC=12，OE⊥CD，
∴CE=DE=6，
∴EO=6，∴EF=18-6.---------------8分
即所需長方形的兩邊長分別為：18cm和18-6cm.
（3）∵扇形OAB的圓心角為60度，∴在以O為圓心，18cm為半徑的大圓和以12cm為半徑的小圓組成的圓環中可剪出6個圓環（即小紙杯的側面），如圖.
剩下的一個半徑12 cm的圓中可按照如下方法剪圓環。作正六邊形EFGHID，顯然邊長為12cm，將DE，FG，HI兩邊延長，相交于點A，B，C則以A、B、C為圓心18cm為半徑畫弧，三條弧相切于DE、FG、HI的中點，顯然又可剪3個，
故最多可剪出9個紙杯的側面.------- --------12分
(1)根據紙杯的底面周長等于扇形OCD的弧長，可求得紙杯的底面半徑，側面積等于扇形OAB的面積-扇形OCD的面積，（2）、（3）根據垂徑定理，等邊三角形求解