Question

（2012•瀘州）如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，過點E作EF⊥AE交DC于點F，連接AF．設

AB

AD

=k，下列結論：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）當k=1時，△ABE∽△ADF，其中結論正確的是（　　）

A．（1）（2）（3）

B．（1）（3）

C．（1）（2）

D．（2）（3）

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠B=∠C=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠FEC，然后利用有兩角對應相等的三角形相似，證得△ABE∽△ECF；
（2）由（1），根據相似三角形的對應邊成比例，可得

EC

AB

=

EF

AE

，又由E是BC的中點，即可得

BE

AB

=

EF

AE

，繼而可求得tan∠BAE=tan∠EAF，即可證得AE平分∠BAF；
（3）當k=1時，可得四邊形ABCD是正方形，由（1）易求得CF：CD=1：4，繼而可求得AB：CD與BE：DF的值，可得△ABE與△ADF不相似．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正確；

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴

EC

AB

=

EF

AE

，
∵E是BC的中點，
即BE=EC，
∴

BE

AB

=

EF

AE

，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=

BE

AB

，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=

EF

AE

，
∴tan∠BAE=tan∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正確；

（3）∵當k=1時，即

AB

AD

=1，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴

AB

EC

=

AE

EF

=

BE

FC

=2，
∴CF=

1

4

CD，
∴DF=

3

4

CD，
∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，
∴△ABE與△ADF不相似；
故（3）錯誤．
故選C．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、正方形的判定與性質以及三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．