Question

（2007•連云港）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C在坐標軸上，OA=60cm，OC=80cm．動點P從點O出發，以5cm/s的速度沿x軸勻速向點C運動，到達點C即停止．設點P運動的時間為ts．
（1）過點P作對角線OB的垂線，垂足為點T．求PT的長y與時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在點P運動過程中，當點O關于直線AP的對稱點O'恰好落在對角線OB上時，求此時直線AP的函數解析式；
（3）探索：以A，P，T三點為頂點的△APT的面積能否達到矩形OABC面積的？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質可知OB=AC，根據直角三角形的性質可知=100，即OB=AC=100．判定Rt△OPT∽Rt△OBC則可得出，即可得出函數解析式，根據P的運動情況求出t的取值范圍即可．
（2）當O點關于直線AP的對稱點O′恰好在對角線OB上時，A，T，P三點在一條直線上．判定Rt△AOP∽Rt△OCB，則可得出，點P的坐標為（45，0）．列出AP的函數解析式將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式，解出即可．
（3）由（2）知，當t=9時，A，T，P三點在一條直線上，此時點A，T，P不構成三角形．所以分兩種情況：1、當0＜t＜9時，列出方程求解看有無實數根即可．2、當9＜t≤16時，根據圖（3）列出方程求解看有無實數根即可．
解答：解：（1）在矩形OABC中，
因為OA=60，OC=80，
所以OB=AC==100．
因為PT⊥OB，
所以Rt△OPT∽Rt△OBC．
因為，即，
所以y=PT=3t．
當點P運動到C點時即停止運動，此時t的最大值為．

（2）（如圖2）當O點關于直線AP的對稱點O'恰好在對角線OB上時，A，T，P三點在
一條直線上．
所以AP⊥OB，∠1=∠2．
所以Rt△AOP∽Rt△OCB，
所以．
所以OP=45．
所以點P的坐標為（45，0）．
設直線AP的函數解析式為y=kx+b．
將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式，
得，
解這個方程組得．
所以此時直線AP的函數解析式是．

（3）由（2）知，當時，A，T，P三點在一條直線上，此時點A，T，P不構
成三角形．
所以分兩種情況：
1、當0＜t＜9時，點T位于△AOP的內部（如圖1），過A點作AE⊥OB，垂足為點E，
由AO•AB=OB•AE可得AE=48．
所以S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP=×60×5t-×4t×48-×4t×3t=-6t²+54t．
若S_△APT=S_矩形OABC，
則-6t²+54t=1200，即t²-9t+200=0．
此時，△=（-9）²-4×1×200＜0，
所以該方程無實數根．
所以當0＜t＜9時，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的．
2、當9＜t≤16時，點T位于△AOP的外部．
此時S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t．
若S_△APT=S_矩OABC，
則6t²-54t=1200，即t²-9t-200=0．
解得，（舍去）．
由于881＞625=25²，
所以．
而此時9＜t≤16，
所以也不符合題意，應舍去．
所以當9＜t≤16時，以A，P，T為頂點的△APT的面積也不能達到矩形OABC面積的．
綜上所述，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的．

點評：本題要注意利用待定系數法求一次函數解析式的方法，列出方程，得出未知數．同學們需熟練掌握．