Question

（2009•荊州二模）如圖①，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4

2

，另有一個等腰梯形DEFG（GF‖DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB、AC上，且G、F分別是AB、AC的中點，P點為AG上的一動點．
（1）填空：等腰梯形DEFG的面積為

6

（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖②）．
探究1：設在運動過程中△ABC與等腰梯形DEF′G′重疊部分的面積為y，直接寫出y與x的函數關系式和自變量x的取值范圍；
探究2：在運動過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，設過動點P且平分此菱形面積的直線交GF于去，當S△PGQ=

2

8

時，求P點的位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據勾股定理求得AB=AC=4；然后由三角形中位線定理易證△AGF∽△ABC，則由“相似三角形的面積比等于相似比的平方”和比例的性質得到S_梯形DEFG的值；
（2）①本題要分兩種情況解答：0≤x＜2

2

和2

2

≤x≤4

2

；
②BG∥DG′，GG′∥BC推出四邊形BDG′G是平行四邊形；當BD=BG=

1

2

AB=2時，四邊形BDG′G為菱形．

解答：解：（1）如圖①，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4

2

，
∴AB=AC=4．
∴S_△ABC=

1

2

×4×4=8．
∵G、F分別是AB、AC的中點，
∴GF

∥

.

1

2

BC，
∴△AGF∽△ABC，

GF

BC

=

1

2

，
∴

S△AGF

S△ABC

=(

1

2

)2=

1

4

，
∴

S梯形DEFG

S△ABC

=

3

4

，則S_梯形DEFG=

3

4

S_△ABC=

3

4

×8=6．
故答案為：6；

（2）①分兩種情況：
i）當0≤x＜2

2

時，
∵GM=

2

，
∴S_?BDG′G=

2

x，
∴重疊部分的面積為y=6-

2

x，
∴當0≤x＜2

2

時，y與x的關系式為y=6-

2

x；

ii）如圖②，當2

2

≤x≤4

2

時，
設FC與DG′交于點T，則∠TDC=∠TCD=45°
∴∠CTD=90°，TC=TD，
作TQ⊥DC于K，則TK=DK=KC=

1

2

（4

2

-x），
∴重疊部分的面積為y=

1

2

×

1

2

×（4

2

-x）²=

1

4

x²-2

2

x+8．

②能為菱形．理由如下：
如圖③，∵BG∥DG′，GG′∥BC
∴四邊形BDG′G是平行四邊形，
當BD=BG=

1

2

AB=2時，四邊形BDG′G為菱形
此時可求得x=2，
∴當x=2秒時，四邊形BDG′G為菱形．

存在這樣的動點P．理由如下：
易求△PGQ的邊GQ上的高為

2

．
則

1

2

a×

2

=

2

8

，
解得，GQ=

1

4

．
∵PQ平分菱形BDGG′的面積，∴DP=GQ=

1

4

，即點P在點D左邊

1

4

處．

點評：此題主要考查勾股定理、三角形中位線、等腰梯形的性質及菱形性質等知識點的綜合運用，要求學生對所學知識能靈活運用．