Question

設x²-px+q=0的兩實根為α，β，而以α²，β²為根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，則數對（p，q）的個數是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

分析：利用根與系數的關系把α，β之間的關系找出來，利用α，β之間的關系，解關于p，q的方程，然后再代入原方程檢驗即可．

解答：解：根據題意得，α+β=p①，αβ=q②；
α²+β²=p③，α²β²=q④．
由②④可得α²β²-αβ=0，
解之得αβ=1或0
由①③可得α²+β²=（α+β）²-2αβ=p²-2q=p，
即p²-p-2q=0，
當q=0時，p²-p=0，
解之得，p=0或p=1，
即

p1=0 q1=0

，

p2=1 q2=0

，
把它們代入原方程的△中可知符合題意．
當q=1時，p²-p-2=0，
解之得，p=-1或2，
即

p3=2 q3=1

，

p4=-1 q4=1

，
把它們代入原方程的△中可知

p4=-1 q4=1

不合題意舍去，
所以數對（p，q）的個數是3對．
故本題選B．

點評：將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．