Question

【題目】如圖，點O為正方形ABCD對角線的交點，點E，F分別在DA和CD的延長線上，且AE=DF，連接BE，AF，延長FA交BE于G．

（1）試判斷FG與BE的位置關系，并證明你的結論；
（2）連接OG，求∠OGF的度數；
（3）若AE= ，tan∠ABG= ，求OG的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：FG⊥BE，

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠EAB=∠ADF=90°，

在△ABE與△DAF中， ，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠E=∠AFD，

∵∠EAG=∠DAF，

∴∠AGE=∠ADF=90°，

∴FG⊥BE；

（2）解：連接OA，OB，

∵點O為正方形ABCD對角線的交點，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AOB=90°，

∵∠AGB=90°，

∴A，G，B，O四點共圓，

∴∠AGO=∠ABO=45°；

（3）解：∵AE= ，tan∠ABG= ，

∴AB=2 ，

∴BE= =5，AO=BO= ，

∴AG= =2，

∴BG= =4，

過A作AM⊥OG于M，過B作BN⊥OG于N，

則△AGM，△BNG是等腰直角三角形，

∴BN=GN=2 ，AM=GM= ，

∵S四邊形AGBO=S△AGB+S△AOB=S△BOG+S△AOG，

∴ AGBG+ AOBO= OGBN+ OGAM，

即 ×2×4+ = 2 OG+ OG，

∴OG=3 ．

【解析】（1）根據正方形的性質得出AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°然后證出△ABE≌△DAF，依據三角形全等的性質得出∠E=∠AFD，，從而得出結論；
（2）連接OA，OB，依據正方形的性質得出△AOB是等腰直角三角形，推出A，G，B，O四點共圓，根據圓周角定理得出結論；
（3）根據三角函數的定義得出AB的長，根據勾股定理得BE的長，OA=OB,根據三角形的面積公式得出AG的長，從而利用勾股定理得出BG的長，過A作AM⊥OG于M，過B作BN⊥OG于N，根據等腰直角三角形得性質得到BN=GN，AM=GM根據圖形的面積列出方程即可求解。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．