Question

【題目】好學小東同學，在學習多項式乘以多項式時發現：(x+4)(2x+5)(3x-6)的結果是一個多項式，并且最高次項為：x2x3x＝3x3，常數項為：4×5×(-6)=-120，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數．根據嘗試和總結他發現：一次項系數就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次項為-3x．

請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．

(1)計算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多項式的一次項系數為_____．

(2)(x+6)(2x+3)(5x-4)所得多項式的二次項系數為_______．

(3)若計算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多項式不含一次項，求a的值；

(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，則a2020=_____．

Answer 1

【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．

【解析】

（1）求一次項系數，用每個括號中一次項的系數分別與另外兩個括號中的常數項相乘，最后積相加即可得出結論．

（2）求二次項系數，還有未知數的項有x、2x、5x，選出其中兩個與另一個括號內的常數項相乘，最后積相加即可得出結論．

（3）先根據（1）（2）所求方法求出一次項系數，然后列出等式求出a的值．

（4）根據前三問的規律即可計算出第四問的值．

解：（1）由題意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次項系數是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．

（2）由題意可得(x+6)(2x+3)(5x-4) 二次項系數是：

．

（3）由題意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次項系數是：

1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0

∴a=-3．

（4）通過題干以及前三問可知：一次項系數是每個多項式的一次項分別乘以其他多項式常數項然后結果相加可得．

所以(x+1)2021一次項系數是：a2020=2021×1=2021．

故答案為：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．