Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點H，AC的延長線與過點B的直線相交于點E，且∠A=∠EBC．

（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點F、G，若BGBA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，

∵BD是直徑，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切線．

（2）解：∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴ = ，即BC2=BGBA=48，

∴BC=4 ，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴BC2=BFBD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在Rt△BCF中，CF= =4 ，

∴CG=CF+FG=5 ，

在Rt△BFG中，BG= =3 ，

∵BGBA=48，

∴ 即AG=5 ，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，

∴CH=CB=4 ，

∵△ABC∽△CBG，

∴ = ，

∴AC= = ，

∴AH=AC﹣CH= ．

【解析】（1）連接CD，利用直徑上的圓周角為直角可得∠D+∠CBD=90°，再利用圓周角定理可得∠CBD+∠EBC=90°，進而得證；
（2）先證△ABC∽△CBG，可得BC2=BGBA，從而求得BC的長，再由△BFC∽△BCD可得BF的長，進而求得CH、BG、CG的長，再用△ABC∽△CBG利用對應邊長比例求得AC的長，又AH=AC-CH可求得結果.
【考點精析】通過靈活運用三角形的外接圓與外心和切線的判定定理，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．