Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=5，P是線段BC上的一動點．

（1）請用不帶刻度的直尺和圓規，按下列要求作圖：（不要求寫作法，但保留作圖痕跡），在CD邊上確定一點E，使得∠DEP+∠APB=180°；

（2）在（1）的條件下，點P從點B移動到點C的過程中，對應點E隨之運動，則移動過程中點E經過的總路程長為 ．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）．

【解析】

（1）過點P作PE⊥PA交CD于E，點E即為所求．

（2）設PB＝x，EC＝y，利用相似三角形的性質構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．

（1）如圖點E即為所求．

（2）設PB=x，EC=y．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，BC=AD=5，∠B=∠C=90°．

∵∠APE=90°，

∴∠APB+∠EPC=90°，∠EPC+∠PEC=90°，

∴∠APB=∠PEC，

∴△ABP∽△PCE，

∴，

∴，

∴y=﹣x2+=﹣（x﹣）2+．

∵﹣＜0，

∴x=時，y有最大值，最大值為，

觀察圖象可知：當點P從B運動到C時，CE的值從0增加到，然后逐漸減小到0，

∴點E的運動路徑的長=2×=．

故答案為：．