Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點，分別連接AC、CD、AD．

（1）求拋物線的函數表達式以及頂點D的坐標；

（2）在拋物線上取一點P（不與點C重合），并分別連接PA、PD，當△PAD的面積與△ACD的面積相等時，求點P的坐標；

（3）將（1）中所求得的拋物線沿A、D所在的直線平移，平移后點A的對應點為A′，點C的對應點為C′，點D的對應點為D′，當四邊形AA′C′C是菱形時，求此時平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）或；（3）①當A′在x軸上方時，如圖2，A′的坐標為（﹣1，2）．②當A′在x軸下方時，如圖3，同理可得：平移后的拋物線為y＝

【解析】

（1）求得C的坐標，然后根據A、B點的坐標設拋物線的函數表達式為y＝a（x+1）（x﹣3），代入c的坐標即可求得a，求得解析式，進而求得頂點坐標；

（2）先求得直線AD的解析式，然后求得線段AD交y軸于點E點的坐標，過點C作直線l1∥AD，則直線l1的解析式為y＝2x+3，求得與拋物線的交點C，由C的坐標即可判定在線段AD上方的拋物線上不存在使△PAD的面積與△ACD的面積相等的點P，將直線AD沿豎直方向向下平移1個單位長度，所得的直線l2的解析式為y＝2x+1．直線l2與拋物線交于點P，則此時△PAD的面積與△ACD的面積相等，聯立方程即可求得交點P的坐標；

（3）設A′的坐標為（t，2t+2），則得出A′A2＝5（t+1）2．AC2＝10．由四邊形AA′C′C是菱形，則AC＝AA′．從而得出5（t+1）2＝10．解得t1＝﹣1，t2＝﹣﹣1，即可求得A′的坐標為（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣2），然后分兩種情況討論求得即可．

解：（1）由拋物線y＝ax2+bx+3可知C的坐標為（0，3），

設拋物線的函數表達式為y＝a（x+1）（x﹣3），

代入C（0，3）得﹣3a＝3．

∴a＝﹣1．

∴拋物線的函數表達式為y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3，

∵對稱軸為直線x＝＝1，

代入上式，得y＝﹣（1+1）（1﹣3）＝4．

∴頂點D的坐標為（1，4）．

（2）∵C（0，3），OC＝3．

設直線AD的解析式為y＝kx+m，則

，解得

∴直線AD的解析式為y＝2x+2，

設線段AD交y軸于點E，則E（0，2）．

∴CE＝OC﹣OE＝3﹣2＝1．

過點C作直線l1∥AD，則直線l1的解析式為y＝2x+3，如圖1，

由﹣x2+2x+3＝2x+3，解得x1＝x2＝0．

將x＝0代入y＝2x+3，得y＝3．

∴直線l1與拋物線只有一個交點C．

∴在線段AD上方的拋物線上不存在使△PAD的面積與△ACD的面積相等的點P，

將直線AD沿豎直方向向下平移1個單位長度，所得的直線l2的解析式為y＝2x+1．

直線l2與拋物線交于點P，則此時△PAD的面積與△ACD的面積相等．

由﹣x2+2x+3＝2x+1，解得x1＝，x2＝﹣．

∴y1＝2+1，y2＝﹣2+1．

∴點P的坐標為（，2+1）或（﹣，﹣2+1）．

（3）設A′的坐標為（t，2t+2），

則A′A2＝（t+1）2+（2t+2）2＝5（t+1）2．AC2＝12+32＝10．

∵四邊形AA′C′C是菱形，

∴AC＝AA′．

∴5（t+1）2＝10．解得t1＝﹣1，t2＝﹣﹣1．

∴A′的坐標為（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣2）．

①當A′在x軸上方時，如圖2，A′的坐標為（﹣1，2）．

將點A先向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度就得到點A′，

∴將點D（1，4）先向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度就得到點D′（+1，2+4）．

∴平移后的拋物線為y＝﹣（x﹣﹣1） 2+4+2，

②當A′在x軸下方時，如圖3，同理可得：平移后的拋物線為y＝﹣（x﹣1+） 2+4﹣2．