Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=－x－3與拋物線y=x2＋mx＋n相交于兩個不同的點A、B，其中點A在x軸上．

（1）則A點坐標為 ；

（2）若點B為該拋物線的頂點，求m、n的值；

（3）在（2）條件下，設該拋物線與x軸的另一個交點為C，請你探索在平面內是否存在點D，使得△DAC與△DCO相似？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（-3，0）（2）；（3）存在這樣的點D. 點D的坐標為（-1，）或（-1，-）

【解析】

試題分析：（1）令y=0，則可求x的值，即點A的坐標可確定；

（2）由A在拋物線上可確定m、n的關系式：n=3m-9; 又拋物線的頂點在直線上，又可得到m、n的另一關系式：.聯立方程組，求解即可；

（3）假設存在這樣的點D，使得△DAC與△DCO相似.通過推理得出存在這樣的點D.

試題解析： （1）（-3，0）

∵拋物線y=x2+mx+n的圖象經過點A（-3，0）

∴n=3m-9 ①

又拋物線y=x2+mx+n的頂點坐標為B（，）在直線y=-x-3上，

∴ ②

由①、②可得：或

∵A、B是兩個不同的點，

∴不合題意，舍去，

∴

（3）在（2）的條件下，該拋物線與x軸的另一交點為C（-1，0）

假設存在這樣的點D，使得△DAC與△DCO相似.

∵∠ACD=∠DOC+∠CDO

∴∠ACD＞∠DOC，∠ACD＞∠CDO

∴要使△DAC與△DCO相似，只能∠ACD=∠DOC=90°，即CD⊥x軸

∵AC=2，CO=1

∴∠DOC＞∠DAC

∴∠DAC=∠CDO，此時∠ADO=90°

由CD2=AC×CO得：CD=

∴點D的坐標為（-1，）或（-1，-）

考點：二次函數綜合題.

考點分析： 考點1：一次函數 函數的定義：
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個自變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。
對函數概念的理解，主要抓住以下三點：
①有兩個變量；
②一個變量的每一個數值隨著另一個變量的數值的變化而變化；
③對于自變量每一個確定的值，函數有且只有一個值與之對應。
例如：y=±x，當x=1時，y有兩個對應值，所以y=±x不是函數關系。對于不同的自變量x的取值，y的值可以相同，例如，函數：y=|x|，當x=±1時，y的對應值都是1。 理解函數的概念應扣住下面三點：
（1）函數的概念由三句話組成：“兩個變量”，“x的每一個值”，“y有惟一確定的值”；
（2）判斷兩個變量是否有函數關系不僅看它們之間是否有關系式存在，更重要地是看對于x的每一個確定的值。y是否有惟一確定的值和它對應；（3）函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。 函數的表示方法：
（1）解析法：兩個變量之間的關系有時可以用含有這兩個變量及數學運算符號的等式來表示，這種表示方法叫做解析法．
（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表格來表示函數關系，這種表示方法叫做列表法．
（3）圖象法：用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法． 函數的判定：
①判斷兩個變量是否有函數關系，不僅看他們之間是否有關系式存在，更重要的是看對于x的每個確定的值，y是否有唯一確定的值和他對應。
②函數不是數，他是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。 考點2：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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