Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，連結BD。（12分）

（1）若AD＝3，BD＝4，求邊BC的長；
（2）取BC的中點E，連結DE，求證：ED與⊙O相切。

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直徑　∴∠ADB＝90°　………………1分
　　　　　　在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝4
　　　　　　∴AB＝＝＝5　 ………………2分
　　　　　　∵∠BAD＝∠CAB　∠ADB＝∠ABC＝90°
　　　　　　∴△ADB∽△ABC                 ………………4分
　　　　　　∴＝　即＝　

A

　　　　　　∴AC＝                       ………………6分

　　　（2）證明：連結OD
　　　　　　∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB＝90°　∴∠BDC＝90°
∴△BDC是直角三角形 …………7分
又E是BC中點
∴DE＝BC＝BE  ………………8分
∴∠DBE＝∠BDE
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB ………………10分
∴∠OBD＋∠DBE＝∠ODB＋∠BDE
即∠ODE＝∠ABC＝90°
又∵OD是⊙O的半徑
　∴ED與⊙O相切 ………………12分

略