Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=m，BC=4，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C，D兩點）．連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖）．

設CP=x，DE=y．

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）若點P在線段DC上運動時，點E總在線段AD上，求m的取值范圍；

（3）當m=8時，是否存在點P，使得點D關于直線PE的對稱點F落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2+mx；(2)、m≥4；(3)、x=2﹣

【解析】

試題分析：(1)、由△CPM∽△DEP得=由此即可解決問題．(2)、y=﹣x2+mx，根據函數的最大值是4，列出不等式即可解決問題．(3)、存在，過P作PH垂直于AB，由對稱的性質得到：PD′=PD=8﹣x，ED′=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+4，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8﹣x，根據勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，將各自表示出的式子代入，可列出關于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的x的值．

試題解析：(1)、∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°， ∴∠DPE+∠CPM=90°， 又矩形ABCD，∴∠D=90°，

∴∠DPE+∠DEP=90°， ∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°， ∴△CPM∽△DEP， ∴=，

又CP=x，DE=y，AB=DC=m，∴DP=m﹣x， 又M為BC中點，BC=4，∴CM=2， ∴=，∴y=﹣x2+mx．

(2)、由題意：﹣x2+mx≤4， ∴≤4， ∴m2≥32， ∵m＞0 ∴m≥4．

(3)、存在，過P作PH⊥AB于點H，

∵點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上， ∴PD′=PD=8﹣x，ED′=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+4，∠PD′E=∠D=90°， 在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8﹣x，

根據勾股定理得：D′H=，

∵∠ED′A=180°﹣90°﹣∠PD′H=90°﹣∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，

∴△ED′A∽△D′PH， ∴， 整理得：x2﹣4x+2=0，

解得：x=2±． 當x=2+時，y=5+2＞4，

此時，點E在邊DA的延長線上，D關于直線PE的對稱點不可能落在邊AB上，所以舍去．

當x=2﹣時，y=5﹣2＜4，此時，點E在邊AD上，符合題意．

所以當x=2﹣時，點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上．