Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于M，連BM.

（1）求證：AP=CE；

（2）求∠PME的度數；

（3）求證：BM平分∠AME；

（4）AM，BM，MC之間有怎樣的數量關系，直接寫出，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60゜；(3) 見解析；（4）AM+MC=BM

【解析】

（1）先證△APB≌△CEB，即而可得AP=CE，

（2）在△MCP和△∠BCE中，由三角形的內角和為180°，可得∠PME=∠PBE=60゜

（3）分別過點B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，先證△BNP≌△BFE，可得BN=BF，由角平分線的判定可證BM平分∠AME.

（4）在BM上截取BK=CM，連接AK．可得△ACM≌△ABK，則AK=AM，所以AM+MC=BM.

證明：（1）在△APB和△CEB中

AB＝BC，∠ABP＝∠CBE，BP＝BE，

∴△APB≌△CEB （SAS），

∴ AP=CE，

（2）∵△APB≌△CEB，

∴∠APB=∠CEB，

∵∠MCP=∠BCE，

則∠PME=∠PBE=60゜

(3)作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，

∵△APB≌△CEB，

∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，

在△BNP和△BFE中

∠BNP＝∠BFE

∠NPB＝∠FEB

PB＝EB

∴△BNP≌△BFE（AAS），

∴BN=BF，

又∵BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，

∴BM平分∠AME，

(4)AM+BM=MC