Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，AB=2，點C在上運動，且∠ACB=30°.

（1）求⊙O的半徑；

（2）設點C到直線AB的距離為x，圖中陰影部分的面積為y，求y與x之間的函數關系，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的半徑是2；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理得到△AOB是等邊三角形，求出 O的半徑；（2）根據圖形可得陰影部分面積為三角形ABP的面積+弓形AB的面積，用含有x的代數式表示陰影部分的面積即可，注意x的取值范圍.

試題解析：（1）∵∠APB=30°，

∴∠AOB=60°，

∵AO=BO，

∴△AOB是等邊三角形，

∵AB=2，

∴OA=OB=2，

∴☉O的半徑為2；

（2）過O作OD⊥AB交AB于點C.

∵OA=OB ，OD⊥AB， AB=2，

∴AC=CB=1，

∴OC=，

∴S△ABP=·AB·x=x，

S陰影= ·AB·OC+x，

計算得S陰影=+x，

結合已知可得當x取最大值時，P點的位置在點D處.

此時CD=CO+OP=2+.

那么x的取值范圍是0≤x＜2+，

所以y= x+(0≤x＜2+).