Question

【題目】如圖，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E是線段AD(除去端點A、D)上一動點，EF⊥BC于點F.

（1）若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度數．
（2）當E在AD上移動時，∠B、∠C、∠DEF之間存在怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，

∴∠EDF＝80°.

∵∠B＝40°，

∴∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°.

∴∠C＝180°－40°－80°＝60°.

（2）解：∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：

∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°－∠DEF.

∵∠EDF＝∠B＋∠BAD，

∴∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B.

∴∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.

∴∠C－∠B＝2∠DEF.

【解析】 （1）根據垂直的定義及三角形的內角和得出∠EDF＝80°. 根據三角形的外角性質得出∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.根據角平分線的定義得出∠BAC＝80°.根據三角形的內角和得出∠C的度數 ；
（2）∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：根據三角形的內角和及外角的性質得出∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.根據角平分線的定義得出∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B ，根據三角形的內角和得出∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.從而得出結論;∠C－∠B＝2∠DEF .