Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連結DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD、AB的長是方程x2﹣10x+24=0的兩個根，求直角邊BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：DE與半圓O相切，理由為：

連接OD，BD，如圖所示：

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為BC的中點，

∴DE=BE= BC，

∴∠EBD=∠EDB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

又∵∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，

∴DE為圓O的切線

（2）解：方程x2﹣10x+24=0，

因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）=0，

解得：x1=4，x2=6，

∵AD、AB的長是方程x2﹣10x+24=0的兩個根，且AB＞AD，

∴AD=4，AB=6，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，根據勾股定理得：BD= =2 ，

∵△ABD∽△ACB，

∴ = ，即 = ，

∴BC=3 ．

【解析】（1）DE與半圓O相切，理由為：連接OD，BD，由AB為半圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到一個角為直角，可得出三角形BDC為直角三角形，又E為斜邊BC的中點，利用中點的定義及斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到ED=EB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，根據∠EBO為直角，得到∠EBD與∠OBD和為90°，等量代換可得出∠ODE為直角，即DE與OD垂直，可得出DE為圓O的切線，得證；（2）利用因式分解法求出x2﹣10x+24=0的解，再根據AB大于AD，且AD和AB為方程的解，確定出AB及AD的長，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的長，然后根據三角形相似即可求得BC的長．
【考點精析】本題主要考查了因式分解法和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．