Question

大力發展現代農業并提高科技含量，盡快縮短我國農業與西方發展國家的差距，是“兩會”的熱點話題之一．某地區積極響應國家的號召，研發并種植出一種綠色蔬菜，全部用來出口，由于供不應求，準備擴大生產規模，為調動菜農的積極性，從今年起，該市決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼；經調查發現：種植畝數y（畝）與每畝補貼x（元），滿足函數關系：y=8x+1600．每畝蔬菜的收益Z（元）與每畝補貼x（元）的一次函數關系如圖所示，且每畝收益要求不低于2100元．
（1）求出Z與x的函數關系表達式；并寫出x的取值范圍；
（2）政府每畝補貼多少元時，這種蔬菜的總收益最大，并求出最大值；
（3）由于今年上半年受持續干旱等自然因素的影響，這種出口蔬菜每畝的實際收益將會減少x元，若今年要使這種蔬菜的總收益達到640萬元，則政府每畝應補貼多少元？
（參考數據：，結果保留到整數位）

Answer 1

解：（1）設Z與x的函數關系表達式為：Z=kx+b，
把點（0，3000），（100，2700）代入上式，
得：Z=-3x+3000，
∵每畝收益要求不低于2100元，即Z=-3x+3000≥2100，
∴x≤300；

（2）總收益=（-3x+3000）（8x+1600）
=-24x²+19200x+4800000，
此函數為二次函數，開口向下，頂點坐標為最大值，即x=-=400，
∵x≤300，
∴當x=300時，函數取得最大值，
∵將300代入解析式得出最大值為8400000，
當政府補貼300元時，總收益最大為8400000．

（3）（Z-x）（8x+1600）=6400000，
即-32x²+17600x+4800000=6400000，
得x=275+25≈435＞300（不合題意，舍去）或x=275-≈115
所以政府每畝應補貼115元．
分析：（1）利用待定系數法求解Z與x的函數關系表達式；
（2）總收益=（-3x+3000）（8x+1600），化簡-24x²+19200x+4800000，求最大最小值．
（3）使（Z-x）（8x+1600）=640萬，求x．
點評：利用一次函數的性質解決際問題，把實際問題轉換成簡單的數學問題，學會利用二次函數最大最小值求解．