Question

如圖：△ABC是等邊三角形?
（1）若AD=BE=CF，求證△DEF是等邊三角形．?
（2）請問（1）的逆命題成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請用反例說明?

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等量減去等量，結果仍相等的原則，可推出AF=CE=BD，然后依據等邊三角形的性質，即可推出△ADF≌△BED≌△CFE，即得DF=DE=EF，即可推出△DEF是等邊三角形，（2）（1）的逆命題仍然成立，首先根據補角的性質和三角形內角和定理即可推出∠ADF=∠DEB=∠EFC，然后根據等邊三角形的性質，運用全等三角形的判定定理AAS，即可推出△ADF≌△BED≌△CFE，即得結論．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，
，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等邊三角形，

（2）解：（1）的逆命題成立，
已知：△DEF是等邊三角形，求證：AD=BE=CF．
證明：∵△DEF是等邊三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=EF=DE，
∵等邊三角形ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∠AFD+∠EFC=120°，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC，
在△ADF，△BED，△CFE中，
∵，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF．
點評：本題主要考查等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、命題的證明，關鍵在于利用補角的性質和三角形的內角和定理，推出∠ADF=∠DEB=∠EFC，熟練運用相關的性質定理推出相等的角，相等的邊，求證相關三角形全等．