Question

【題目】如圖，是的外角，的平分線所在的直線分別與的平分線交于點．

若求的度數；

若求；

連接若則_

Answer 1

【答案】（1）∠D＝35°；（2）∠E＝90°α；（3）

【解析】

（1）由角平分線的定義得到∠DCG＝∠ACG，∠DBC＝∠ABC，然后根據三角形外角的性質求出2∠DCG＝∠A＋2∠DBC，2∠DCG＝2∠D＋2∠DBC，等量代換即可得出答案；

（2）由（1）知∠D＝∠A＝α，求出∠DBE＝90°，即可求得∠E；

（3）如圖，連接AD，過點D作DN⊥BG于N，DM⊥BA交BA的延長線于M，過點D作DQ⊥AC于Q，根據角平分線的判定和性質證得AD是∠MAC的角平分線，然后利用三角形外角的性質求出∠MAD=∠MAC=，∠MAD=∠ABD+∠ADB=+∠ADB，等量代換即可求出答案.

解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，

∴∠DCG＝∠ACG，∠DBC＝∠ABC，

∵∠ACG＝∠A＋∠ABC，

∴2∠DCG＝∠A＋∠ABC＝∠A＋2∠DBC，

∵∠DCG＝∠D＋∠DBC，

∴2∠DCG＝2∠D＋2∠DBC，

∴∠A＋2∠DBC＝2∠D＋2∠DBC，

∴∠D＝∠A＝35°；

（2）由（1）知∠D＝∠A＝α，

∵∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝∠ABC+∠CBF＝（∠ABC+∠CBF）＝×180°＝90°，

∴∠E＝90°－∠D＝90°α；

（3）如圖，連接AD，過點D作DN⊥BG于N，DM⊥BA交BA的延長線于M，過點D作DQ⊥AC于Q，

∵BD是∠ABC的平分線，CD是∠ACG的平分線，

∴DM=DN，DQ=DN，

∴DM=DQ，

∵DM⊥AM，DQ⊥AC，

∴AD是∠MAC的角平分線，

∵∠MAC=∠ACB+∠ABC=β+∠ABC，

∴∠MAD=∠MAC=，

又∵∠MAD=∠ABD+∠ADB=+∠ADB，

∴，

∴.