Question

【題目】在中，于點

（1）如圖1，若的角平分線交于點，，，求的度數；

（2）如圖2，點分別在線段上，將折疊，點落在點處，點落在點處，折痕分別為和，且點，點均在直線上，若，試猜想與之間的數量關系，并加以證明；

（3）在（2）小題的條件下，將繞點逆時針旋轉一個角度（），記旋轉中的為（如圖3），在旋轉過程中，直線與直線交于點，直線與直線交于點，若，是否存在這樣的兩點，使為直角三角形？若存在，請直接寫出旋轉角的度數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠C=56°；（2）∠AMF=∠ANG．證明見解析；（3）滿足條件的旋轉角為28°或56°或208°或236°.

【解析】

（1）利用三角形的內角和定理即可解決問題；
（2）結論：∠AMF=∠ANG．由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，由∠B+∠C=90°，推出∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，推出∠BAD+∠CAD=90°，由∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，推出∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，可得∠AMF=∠ANG；
（3）分兩種情形①當∠PQB=90°時；②當∠BPQ=90°時.分別求解即可解決問題.

解：（1）如圖1中，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△AED中，∵∠EAD=7°，
∴∠AED=83°，
∵∠AED=∠B+∠BAE，∠B=42°，
∴∠BAE=∠CAE=41°，
∴∠BAC=82°，
∴∠C=180°-42°-82°=56°．

（2）結論：∠AMF=∠ANG．
理由：如圖2中，

由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，
∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，
∴∠AMF=∠ANG．

（3）①如圖3-1當∠PQB=90°時，

∵∠B=∠F′=28°，

∴∠F′DQ=90°-28°=62°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FDF′=90°-62°=28°，
∴旋轉角為28°．
②如圖3-2，當∠BPQ=90°時，

∵∠B=∠F′=28°，
∴∠PQB=90°-28°=62°，
∵∠PQB=∠F′+∠F′DB，
∴∠F′DB=62°-28°=34°，
∴∠FDF′=90°-34°=56°，
∴旋轉角為56°，
同法可得當旋轉角為208°或236°時，也滿足條件，
綜上所述，滿足條件的旋轉角為28°或56°或208°或236°．