Question

如圖，在以AB為直徑的半圓上取一點C，分別以AC、BC為直徑在△ABC外作半圓AEC和BFC．當C點在什么位置上時，圖中兩個彎月形AEC和BFC的面積之和最大？

Answer 1

分析：由AB為半圓的直徑，利用圓周角定理得到∠ACB為直角，可得出三角形ACB為直角三角形，利用勾股定理列出關系式，陰影部分的面積=半圓AEC的面積+半圓BCF的面積+直角三角形ABC的面積-半圓ACB的面積，由AC，BC及AB分別為三半圓的直徑，利用圓的面積公式及直角三角形的面積公式表示出陰影部分的面積，整理后將得出的關系式代入，可得出AC=BC時，陰影部分面積最大，此時C為弧AB的中點．

解答：解：∵AB為半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，即△ABC為直角三角形，
根據勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
S_陰影=S_半圓AEC+S_半圓BCF+S_△ABC-S_半圓ACB
=

1

2

•(

AC

2

)2π+

1

2

•(

BC

2

)2π+

1

2

AC•BC-

1

2

•(

AB

2

)2π
=

π

8

（AC²+BC²-AB²）+

1

2

AC•BC
=

1

2

AC•BC，
則當C為

AB

中點時，AC=BC，此時陰影部分面積最大．

點評：此題考查了勾股定理，圓周角定理，圓面積求法，以及陰影部分面積的求法，熟練掌握定理是解本題的關鍵．