Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補．
（1）求∠C的度數；
（2）若BC＞CD且AB=AD，請在圖上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個正方形，并說明理由；
（3）若CD=6，BC=8，S_{四邊形ABCD}=49，求AB的值．

Answer 1

（1）∵∠ABC與∠ADC互補，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠A=90°，
∴∠C=360°-90°-180°=90°；

（2）過點A作AE⊥BC，垂足為E．
則線段AE把四邊形ABCD分成△ABE和四邊形AECD兩部分，把△ABE以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°，則被分成的兩部分重新拼成一個正方形．
過點A作AF∥BC交CD的延長線于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．
∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．∴四邊形AECF是正方形；

（3）解法1：連接BD，
∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD=

82+62

=10
又∵S_{四邊形ABCD}=49，∴S_△ABD=49-24=25．
過點A作AM⊥BD垂足為M，
∴S_△ABD=

1

2

×BD×AM=25．∴AM=5．
又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．
∴

AM

BM

=

MD

AM

．
設BM=x，則MD=10-x，
∴

5

X

=

10-X

5

．解得x=5．
∴AB=5

2

．
解法2：連接BD，∠A=90°．
設AB=x，AD=y，則x²+y²=10²，①
∵

1

2

xy=25，∴xy=50．②
由①，②得：（x-y）²=0．
∴x=y．
2x²=100．
∴x=5

2

．