Question

【題目】探究：小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發現，對于平面直角坐標系內任意兩點P1x1,y1，P2x2,y2，可通過構造直角三角形利用圖1得到結論：，他還利用圖2證明了線段P1P2的中點Px,y的坐標公式：

（1）已知點M2,1,N2,5，則線段MN長度為 ；

（2）請求出以點A2,2,B2,0,C3,1，D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標；

（3）如圖3，OL滿足y2xx0，點P2,1是OL與x軸正半軸所夾的內部一點，請在OL、x軸上分別找出點E、F，使PEF的周長最小，求出周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（－3，3）或（7，1）或（－1，－3）；（3）△PEF周長的最小值是4.

【解析】

（1）直接利用兩點間距離公式可求得MN的長；

（2）分AB、AC、BC為對角線，可求得其中心的坐標，再利用中點坐標公式可求得D點坐標；

（3）設P點關于x軸的對稱點為P1，P點關于直線y=2x的對稱點為P2，連接PP1交x軸于點H，連接PP2交直線y=2x于點G，連接P1P2，分別交x軸、直線y=2x于點F、E，由對稱性知此時△PEF的周長最小，等于P1P2的長；由于PP2⊥OG，于是根據兩直線垂直有，可設直線PP2的解析式為，把P點坐標代入可求得b，于是直線PP2的解析式可得，聯立直線PP2和OG的解析式可求得G點坐標，因為G為PP2的中點，由中點坐標公式可求得P2點的坐標，而P1的坐標為（2，－1），最后再用兩點間距離公式求出即可.

解：（1）∵M（2，﹣1），N（﹣2，5），

∴MN==，

故答案為：；

（2）∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），

∴當AB為平行四邊形的對角線時，其對稱中心坐標為（0，1），

設D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，

∴此時D點坐標為（﹣3，3）；

當AC為對角線時，同理可求得D點坐標為（7，1）；

當BC為對角線時，同理可求得D點坐標為（﹣1，﹣3），

綜上可知D點坐標為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；

（3）如圖，設P點關于x軸的對稱點為P1，P點關于直線y=2x的對稱點為P2，連接PP1交x軸于點H，連接PP2交直線y=2x于點G，連接P1P2，分別交x軸、直線y=2x于點F、E，由對稱性知，PE=P2E，PF=P1F，PE+EF+PF=P2E+EF+P1F=P1P2，

此時△PEF的周長最小，等于P1P2的長.

∵PP2⊥OG，OG的解析式為y=2x，

∴可設直線PP2的解析式為，

把P點坐標（2,1）代入上述解析式，得b=2，

∴直線PP2的解析式為，

聯立方程組，解得.

∴G點的坐標為（）.

設P2點的坐標為（a，b），因為G是PP2的中點，所以，

解得：，所以P2點的坐標為（），

又因為P1的坐標是（2,－1），

所以由兩點距離公式，得.

故△PEF周長的最小值是4.