Question

甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲乙兩數的最小公倍數是2800，那么甲數和乙數分別是多少？

Answer 1

分析：先把最小公倍數是2800分解質因數，2800=2⁴×5²×7，根據“甲數有9個約數”，甲數的約數的個數是奇數，說明甲數是一個完全平方數；又可知甲數的質因數的指數加1的積是：9=3×3=（2+1）×（2+1）；所以甲數是2²×5²=4×25=100；同理，根據“乙數有10個約數，”可知乙數的質因數的指數加1的積是：10=2×5=（1+1）×（4+1），所以乙數是2⁴×7¹=16×7=112，據此解答．

解答：解：2800=2⁴×5²×7，
設甲數是N，乙數是M，
因為N的約數的個數是奇數，說明它是一個完全平方數；則它的質因數的指數加1的積是：
9=3×3=（2+1）×（2+1）；
所以甲數是：N=2²×5²=4×25=100；
同理，M的質因數的指數加1的積是：
10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以乙數是：M=2⁴×7¹=16×7=112．
答：甲數是100，乙數是112．

點評：考查了約數與倍數，此題是數論中的約數個數問題；即一個合數的約數個數的計算公式：N=p^α×q^β×r^γ（其中N為合數，p、q、r是質數），則N的約數共（α+1）（β+1）（γ+1）個約數．