Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進行下去，第2010個正方形的面積為（　　）

• A、5(

  3

  2

  )2009
• B、5(

  9

  4

  )2010
• C、5(

  9

  4

  )2008
• D、5(

  3

  2

  )4018

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，繼而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理計算出正方形的邊長；最后利用正方形的面積公式計算三個正方形的面積，從中找出規(guī)律，問題也就迎刃而解了．

解答：
解：設正方形的面積分別為S₁，S₂…S₂₀₁₀，
根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD=

5

，
cot∠DAO=

OA

OD

=

1

2

，
∵tan∠BAA₁=

BA1

AB

=cot∠DAO，
∴BA₁=

1

2

AB=

5

2

，
∴CA₁=

5

+

5

2

=

5

×(1+

1

2

)，
同理，得：C₁A₂=

5

×(1+

1

2

)×(1+

1

2

)，
由正方形的面積公式，得：S₁=(

5

)2，
S₂=(

5

)2×(1+

1

2

)2，S₃=(

5

)2×(1+

1

2

)2×(1+

1

2

)2，
由此，可得S_n=(

5

)2×（1+

1

2

）^2n-2，
∴S₂₀₁₀=5×（

3

2

）^2×2010-2，
=5×（

3

2

）⁴⁰¹⁸．
故選D

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識點，另外，在解題過程中，要認真挖掘題中隱藏的規(guī)律，這樣可以降低解題的難度，提高解題效率．