Question

【題目】如圖 1，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是 CD 邊上一點，連接 AE，將矩形 ABCD 沿 AE 折疊，頂點 D 恰好落在 BC 邊上點 F 處，延長 AE 交 BC 的延長線于點G．

（1）求線段 CE 的長；

（2）如圖 2，M，N 分別是線段 AG，DG 上的動點（與端點不重合），且∠DMN＝∠DAM， 設 DN＝x．

①求證四邊形 AFGD 為菱形；

②是否存在這樣的點 N，使△DMN 是直角三角形？若存在，請求出 x 的值；若不存在， 請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CE=3；（2）①見解析；②或2．

【解析】

（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，設EC＝x，則DE＝EF＝8x．在Rt△ECF中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．

（2）①由△ADE∽△GCE計算出GC的長度，再證明四邊形AFGD是平行四邊形，根據一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形即可證明；

②若△DMN 是直角三角形，則有兩種情況，一是當∠MDN=90°時，二是當∠DNM=90°時，分別利用相似三角形的性質以及銳角三角函數的定義即可計算得出．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，設CE＝x，則DE＝EF＝8x．
在Rt△ABF中，BF＝，
∴CF＝BCBF＝106＝4，
在Rt△EFC中，則有：(8x)2＝x2＋42，
∴x＝3，
∴CE＝3．

（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC

∴△ADE∽△GCE，

∴，

∵AD=10，CE=3，DE=5，

∴，

∴GC=6，

由（1）可得：CF=4，

∴GF=6+4=10，

∴四邊形AFGD是平行四邊形，

又∵AD=AF，

∴平行四邊形AFGD是菱形．

②∵∠DMN=∠DAM，

∴若△DMN 是直角三角形，則有兩種情況，

當∠MDN=90°時，

∵AD=GD，

∴∠DAG=∠DGA

又∵∠ADE=∠GDM=90°，

∴△ADE≌△GDM（ASA）

∴DM=DE=5，

又∵∠DMN=∠DAM，∠ADE=∠MDN=90°，

∴△ADE∽△MDN

∴，即，

∴；

當∠DNM=90°時，則∠MDN+∠DMN=90°，

又∵∠DMN=∠DAM，∠DAG=∠DGA，

∴∠DMN=∠DGA，

∴∠MDN+∠DGA=90°，

∴∠DMG=90°，

∵sin∠DAE=，

∵，

∴，

∴DM=，

∵∠DMN=∠DAM

∴sin∠DMN=sin∠DAM

∴，即

解得：x=2，

綜上所述：或2．