Question

圖1所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖2、當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到達點B時，傘張得最開、已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、設AP=x分米．
（1）求x的取值范圍；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）設陽光直射下，傘下的陰影（假定為圓面）面積為y，求y關于x的關系式（結果保留）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得AC=CN+PN，進一步求得AB的長，即可求得x的取值范圍；
（2）根據等邊三角形的判定和性質即可求解；
（3）連接MN、EF，分別交AC于B、H．此題根據菱形CMPN的性質求得MB的長，再根據相似三角形的對應邊的比相等，求得圓的半徑即可．

解答：解：（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC-BC=10分米．
∴x的取值范圍是：0≤x≤10．

（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN是等邊三角形．
∴CP=6分米．
∴AP=AC-PC=6分米．
即當∠CPN=60°時，x=6．

（3）連接MN、EF，分別交AC于B、H．
∵PM=PN=CM=CN，
∴四邊形PNCM是菱形．
∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線，
PB=

PC

2

=

12-x

2

=6-

1

2

x．
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB²=PM²-PB²=6²-（6-

1

2

x）²=6x-

1

4

x²．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分線，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴

MB

EH

=

CM

CE

．
∴

MB2

EH 2

=（

6

18

）²，
∴EH²=9•MB²=9•（6x-

1

4

x²）．
∴y=π•EH²=9π（6x-

1

4

x²），
即y=-

9

4

πx²+54πx．

點評：此題的難點是第（3）問，熟練運用菱形的性質、相似三角形的性質和二次函數的實際應用．