Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx-a的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，頂點坐標為C（0，-4），直線x=m（m＞1）與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線x=m（m＞1）上有一點P（點P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=ax²+bx-a是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的頂點坐標在y軸上，且坐標為（0，-4），則拋物線的對稱軸為y軸，即b=0，a=4，由此確定該拋物線的解析式．
（2）設出點P的縱坐標，根據拋物線的解析式，可求得B點的坐標，進而可得OC=4OB；△BOC和△ODB中，可用m表示出BD的長，若兩個直角三角形相似，那么直角邊對應成比例，即PD=4BD或BD=4PD，由此求得點P的縱坐標，進而可得到點P的坐標．
（3）若四邊形ABPQ為平行四邊形，那么PQ=AB=2，那么將點P的坐標向左平移2個單位即可得到點Q的坐標，然后將點Q的坐標代入拋物線的解析式中即可求得m的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-a的頂點坐標為C（0，-4），
∴b=0，a=4；
∴拋物線的解析式為y=4x²-4．（2分）

（2）設P（m，n），由4x²-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0）；
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，則

OB

PD

=

OC

BD

，
∴

1

n

=

4

m-1

，
∴n=

1

4

(m-1)，
此時P(m，

m-1

4

)；（4分）
若∠OCB=∠BPD，則

OB

BD

=

OC

PD

，
∴

1

m-1

=

4

n

；
∴n=4（m-1），
此時P（m，4（m-1））．（6分）

（3）假設拋物線存在點Q（x，y）使四邊形ABPQ為平行四邊形，
當P（m，4m-4）時，AP的中點R的坐標為：R(

m-1

2

，2(m-1))，
又∵R又是BQ的中點，
∴

x=m-2 y=4(m-1)

，Q（m-2，4（m-1））；
∵Q在拋物線上，
∴4（m-1）=4（m-2）²-4，
∴m-1=m²-4m+4-1，
∴m²-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去）；（8分）
當P點坐標為(m，

m-1

4

)時，
同理，R(

m-1

2

，

m-1

8

)，Q(m-2，

m-1

4

)；
∵點Q在拋物線上，
∴

m-1

4

=4•(m-2)2-4；
∴16m²-65m+49=0，m=

49

16

或m=1（舍去）；（10分）
∴當m=4或

49

16

時，AP與BQ互相平分，四邊形ABPQ是平行四邊形；
∴m=4或

49

16

為所求．（11分）
（3）另解：可用AB=PQ=2，
∴Q(m-2，

m-1

4

)或Q（m-2，4（m-1）），
∵點Q在拋物線上，
或4（m-2）²-4=4（m-1）；
解之m=

49

16

或m=1，或m=4或m=1，
∵m＞1，
∴m=4或

49

16

．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識；在相似三角形的對應角和對應邊不確定的情況下，一定要注意分類討論，以免漏解．